NPO法人 natural science

【2010.09.01】複数のLED点灯回路を作ろう!!

2010-09-01T13:18:37Z

夏期講座で残光掲示板を完成させたO嶋くん(小学校6年生,ものづくり講座2ヶ月)。今回は回路図について勉強しました。回路図を読み、25個のLEDを点灯させる回路の配置を考えます。基板の制約条件を考えながら、どうすればすべてのLEDが点灯できるかという問題です。 O嶋くんは並列回路・直列回路の違いを考えながら写真のようにすべてLEDを点灯させました。次回からは、このLEDの点灯パターンをマイコンで制御するデジタル花火回路を制作していきましょう!

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-10-2】ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション

2010-08-30T08:44:54Z

（2-10-1）【2-10-1】ばね弾性力＋重力による運動の運動方程式（３次元）とアルゴリズムでは、ばねの変位が xyz平面内の場合で、ばね弾性力と重力がボールに作用する場合の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。 t=t_n[s]のときの加速度 a_n[m/s^2]は、

(2.10.1)

となり、そのときのボールの位置 r_n = (x_n, y_n, z_n) によって決まる値となります。 L_n は、原点からボールまでの距離、

(2.10.2)

です。コンピュータシミュレーションでは、初期条件として、l_0 = 20.0[m]とし、１０個のボールの質量 m [kg]を変化させて運動の違いを確認します。

ばね弾性力＋重力による運動のための計算アルゴリズム

支柱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

ばね定数を k、自然長 L[m] のばねの片側を固定した動かない支柱を原点に置き、ばねの反対側をボールつけ、x-y 平面上に伸ばします。時刻 t=t_n[s] のときのボールの位置を r_n とします。

k = 10.0;    //ばね定数
L = 30.0;    //ばねの自然長
r = 20.0;    //ボールの初期半径
g =9.8
ball_r = 4.0;//ボールの半径

//支柱の定義
poll_x = 0.0;
poll_y = 0.0;
poll_z = 60.0;
poll_r = 5.0;  //半径
poll_h = 20.0; //高さ

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

//位置の計算
x  = x  + vx * dt;
y  = y  + vy * dt;
z  = z  + vz * dt;

l = sqrt(pow(ball[i].x,2)+pow(ball[i].y,2)+pow(poll_z-ball[i].z,2)); //<-----支柱からボールまでの距離

//加速度の計算
ax = - k/ball[i].m * (1.0 - L/l) * ball[i].x;    //<-----ばね弾性力からの寄与
ay = - k/ball[i].m * (1.0 - L/l) * ball[i].y;    //<-----ばね弾性力からの寄与
az = - k/ball[i].m * (1.0 - L/l) * (ball[i].z-poll_z) -g;
//速度の計算
vx = vx + ax * dt;
vy = vy + ay * dt;
vz = vz + az * dt;

このアルゴリズムでは誤差が大きく、時間と共に、単振動の振幅が大きくなってしまいます。アルゴリズムの改善は、次に行ないます。

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

動かない支柱にばねで繋がったボールが運動するシミュレーションです。運動は、ばね弾性力と重力による運動となります。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

「【0.2日目】仮想物理実験室の構築（ver1.1）」をベースにプログラミングします。上記で解説した逐次計算を行うアルゴリズムをプログラミングします。

ばねの定義

ばねの定義については、ばね弾性力による運動の運動方程式（１次元）とアルゴリズムをご覧下さい。

仮想物理実験室変数の定義

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 変数の定義
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#define _BITMAP 0 //アニメーション作成用ビットマップの保存 0:しない　1:する
ofstream ofs1( "ball1.data" );
//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.05;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double k = 10.0;    //ばね定数
double L = 30.0;    //ばねの自然長
double l = 20.0;    //ばねの初期長
double g =9.8;      //重力加速度
double radian, radian_phi, radian_theta; 
double theta;

//支柱の定義
double poll_x = 0.0;
double poll_y = 0.0;
double poll_z = 60.0;
double poll_r = 5.0;  //半径
double poll_h = 20.0; //高さ

// ボールの定義
double ball_r = 4.0;//ボールの半径
struct BALL {
  double m;
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの位置「x,y,z」、速度「vx,vy,vz」、加速度「ax,ay,az」を
構造体「BALL」のメンバとします。「BALL」型の変数「ball1」を宣言と同時に初期値を設定しています。

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム
//--------------------------------------------------------
// 計算と物体の描画
//--------------------------------------------------------
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  //ofs1 << dt*tn << " " << ball1.x << " " << ball1.vx << " " << ball1.ax <

位置「ball1.x」「ball1.y」「ball1.z」

速度「ball1.vx」「ball1.vy」「ball1.vz」

加速度「ball1.ax」「ball1.ay」「ball1.az」

を逐次計算します。
先にも述べましたが、このアルゴリズムでは誤差が大きく、
時間と共に単振動の振幅が大きくなってしまいます。
アルゴリズムの改善は、次回行ないます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-10-1】ばね弾性力＋重力がある場合の運動方程式とアルゴリズム

2010-08-30T08:38:38Z

【2-9-1】ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズムでは、ばね弾性力がある場合の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。そして、【2-9-2】ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーションでは、ばねが x-y 平面内で変位するばねの単振動のシミュレーションを行ないました。

本節では、xyz 空間内でばねが変位する場合をシミュレーションするためのアルゴリズムの導出をおこないます。座標(0,0,z_{poll})に置かれた動かない支柱に、自然長 L_0[m] のばねの片側を固定し、反対側をボールつけ、xyz 空間内に伸ばします。時刻 t[s] のときのボールの位置を r(t)[m] とします。

ばね弾性力＋重力による運動の変数

■ 時刻 t[s] ■ ボールの位置 r(t)=(x(t),y(t),z(t))[m]
■ ばねの自然長 L_0[m]
■ ばねの長さ L(t)[m]
■ ばねの変位 ΔL(t)[m]
■ ばね弾性力 f_k = (f_{kx},f_{ky},f_{kz})[N]
■ 重力 f_g = (0,0,f_f_{gz})[N]
■ 角度 Φ[rad]、θ[rad]

ボールに加わる力がばね弾性力だけでなく重力も加わるので、ばね弾性力には添え字の k を、重力には、添え字に g をつけて区別することにします。

コンピュータアルゴリズム導出までのステップ

【2-9-2】ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーションと同様にすすめます。

１．ばねの長さ L(t)
２．ばねの変位 ΔL(t)
３．ばね弾性力 f_k
４．ばね弾性力の x,y,z 各成分 f_{kx},f_{ky},f_{kz}
５．ボールへ加わる力の x,y,z 各成分 F_x, F_y, F_z
６．ニュートン運動方程式から加速度の x,y,z 各成分 a_x(t),a_y(t),a_z(t)

ばね弾性力 f_k の導出

【2-8-1】ばね弾性力による運動の運動方程式（１次元）とアルゴリズムで導出したとおり、ばね弾性力 f[N] とばねの変位 ΔL[m] との関係は、フックの法則と呼ばれる次の関係式を満たします。

(2.10.1)

ばね弾性力 f[N] を導出するために、ばねの変位 ΔL[m] を得る必要があります。時刻 t[s] のときのばねの変位 ΔL(t) は、ばねの長さ L(t) からばねの自然長 L_0[m] を引いたものになります。ばねの長さ L(t) は、次の図の関係から求めることができます。

L(t) は、三平方の定理から、

(2.10.2)

ばねの変位 ΔL(t) は次のように決まります。

(2.10.3)

上式を(2.10.1)に代入することで、ばね弾性力 f[N] を求めることができます。

(2.10.4)

ついでに、角度Φも求まります。

(2.10.5)

ばね弾性力の x,y,z 各成分（f_{kx},f_{ky},f_{kz}）の導出

３次元の場合では、x,y,z 成分の一括で求めることができず、２段階で行ないます。本節でははじめに、z 成分（f_{kz}）と xy平面成分（f_{kxy}）の２つに分割後、さらに、xy平面成分（f_{kxy}）を x 成分（f_{kx}）と y 成分（f_{ky}）とに分解することで、全成分を導出します。

z 成分（f_{kz}）と xy平面成分（f_{kxy}）への分割

ばね弾性力 f_k と角度Φ が求まっているので、z 成分（f_{kz}）と xy平面成分（f_{kxy}）はそれぞれ、sinΦ, cosΦ を掛けることで得られます。

x 成分（f_{kx}）と y 成分（f_{ky}）への分割

x 成分（f_{kx}）と y 成分（f_{ky}）への分割のために必要なのは、角度θです。

上図から、sinθ, cosθが求まります。

(2.10.6)

xy平面成分（f_{kxy}）に、sinθ, cosθをそれぞれ掛けることで、x 成分（f_{kx}）と y 成分（f_{ky}）が得られます。

ここまで得られた式を代入することで、ばね弾性力の x,y,z 各成分（f_{kx},f_{ky},f_{kz}）の導出することができました。

(2.10.7)

ばね弾性力＋重力がある場合の運動方程式

ボールに、ばね弾性力と重力が働く場合、ボールに作用するすべての力 F[N] は、ばね弾性力の各成分（f_{kx},f_{ky},f_{kz}）と重力（0,0,f_{gz}）となります。x,y,z 成分それぞれに作用する力は、

(2.10.8)

となります。式(2.10.8)を【５日目】重力加速度、重力、ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式

(2.10.9)

に代入することで、空気抵抗がある場合のボールの運動方程式が得られます。

(2.10.10)

ばね弾性力が働く場合、ボールの加速度の各成分は、質量 m[kg]に反比例することがわかります。つまり上式は、「ばね弾性力による加速度は重いほど小さく、軽いほど大きくなる」ことを意味しています。これは、直感的に成り立っていることがわかります。

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

式(2.10.10)として得られたニュートンの運動方程式を【13日目】ばね弾性力がある場合の運動方程式と同様に、コンピュータでシミュレーションするためのアルゴリズム導出します。式(2.10.10)を差分で表すと、

(2.10.11)

となります。L_n は、支柱とボールとの距離です。

(2.10.12)

式(2.10.11)は、t = t_n[s] のときの加速度 a_n[m/s^2] は、そのときの速度 v_n[m/s]で得られることを表しています。得られた加速度と等加速度直線運動のアルゴリズムを用いることで、速度 v[m/s] と位置 x[m]とを決定することができます。

(2.10.12)

(2.10.13)

本節では、ばねの変位を x軸方向に限定しているので、初期位置 x_0, 初速度 v_{x0} を指定することで、様々な運動のシミュレーションを行うことができます。次節では、具体的なシミュレーションを行ないます。

2010年8月29日付河北新報社朝刊にて、NPO法人 natural science 主催『ものづくり講座』の記事を掲載いただきました。

2010-08-30T00:07:55Z

NPO法人natural science 主催　『ものづくり講座』の記事を掲載いただきました。

■科学　不思議発見　好奇心は満開
■大学生が生きた知識

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-9-2】ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション

2010-08-29T15:34:36Z

前節ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズムでは、ばねの変位が x-y 平面内の場合における、ばね弾性力の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。t=t_n[s]のときの加速度 a_n[m/s^2]は、

(2.9.1)

と、そのときのボールの位置 x_n[m/s]によって決まる値となります。 |r_n| とは、原点からボールまでの距離、

(2.9.1)

です。コンピュータシミュレーションでは、初期条件として、r_0 = 20.0[m]とし、１０個のボールの質量 m [kg]を変化させて運動の違いを確認します。

ばね弾性力による運動のための計算アルゴリズム

支柱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

k = 10.0;    //ばね定数
L = 30.0;    //ばねの自然長
r = 20.0;    //ボールの初期半径

ball_r = 4.0;//ボールの半径

//支柱の定義
double poll_x = 0.0;
double poll_y = 0.0;
double poll_z = 0.0;
double poll_r = 5.0;  //半径
double poll_h = 20.0; //高さ

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

//位置の計算
x  = x  + vx * dt;
y  = y  + vy * dt;
z  = z  + vz * dt;

r = sqrt(pow(x,2)+pow(y,2));   //<--原点からボールの距離（＝ばねの長さ）

//加速度の計算
ax = - k/m * (r - L) * x/r;    //<-----ばね弾性力からの寄与
ay = - k/m * (r - L) * y/r;    //<-----ばね弾性力からの寄与
az = 0.0;
//速度の計算
vx = vx + ax * dt;
vy = vy + ay * dt;
vz = vz + az * dt;

このアルゴリズムでは誤差が大きく、時間と共に、単振動の振幅が大きくなってしまいます。アルゴリズムの改善は、次に行ないます。

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

つるつるの床に、動かない支柱とばねで繋がったボールが運動するシミュレーションです。運動は、ばね弾性力のみによる単振動運動となります。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 変数の定義
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#define _BITMAP 1 //アニメーション作成用ビットマップの保存 0:しない　1:する
ofstream ofs1( "ball1.data" );
//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.01;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double k = 10.0;    //ばね定数
double L = 30.0;    //ばねの自然長
double r = 20.0;    //ボールの初期半径
double radian; 
double theta;

//支柱の定義
double poll_x = 0.0;
double poll_y = 0.0;
double poll_z = 0.0;
double poll_r = 5.0;  //半径
double poll_h = 20.0; //高さ

// ボールの定義
double ball_r = 4.0;//ボールの半径
struct BALL {
  double m;
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの位置「x,y,z」、速度「vx,vy,vz」、加速度「ax,ay,az」を
構造体「BALL」のメンバとします。「BALL」型の変数「ball1」を宣言と同時に初期値を設定しています。

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム
//--------------------------------------------------------
// 計算と物体の描画
//--------------------------------------------------------
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  //ofs1 << dt*tn << " " << ball1.x << " " << ball1.vx << " " << ball1.ax <

位置「ball1.x」「ball1.y」「ball1.z」

速度「ball1.vx」「ball1.vy」「ball1.vz」

加速度「ball1.ax」「ball1.ay」「ball1.az」

を逐次計算します。
先にも述べましたが、このアルゴリズムでは誤差が大きく、
時間と共に単振動の振幅が大きくなってしまいます。
アルゴリズムの改善は、次回行ないます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-9-1】ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズム

2010-08-29T15:29:24Z

【2-8-1】ばね弾性力による運動の運動方程式とアルゴリズムでは、ばね弾性力がある場合の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。さらに、【２－８】ばね弾性力による運動：単振動運動（１次元）では、ばねが x 軸方向のみに変位するばねの単振動のシミュレーションを行ないました。

本節では、x-y 平面上でばねが変位する場合をシミュレーションするためのアルゴリズムの導出をおこないます。自然長 L[m] のばねの片側を固定した動かない支柱を原点に置き、ばねの反対側をボールつけ、x-y 平面上に伸ばします。時刻 t=t_n[s] のときのボールの位置を r_n とします。

パラメータ

■ ボールの位置 r_n=(x_n,y_n)[m]
■ ばねの長さ L[m]
■ ばねの変位 ΔL[m]
■ ばね弾性力 f=(f_x,f_y)[N]
■ 変位の方向と x 軸方向とのなす角度 θ[rad]
パラメータの関係性のみを図示します。

ばね弾性力 f[N] の導出

【13日目】ばね弾性力がある場合の運動方程式で導出したとおり、ばね弾性力 f[N] とばねの変位 ΔL[m] との関係は、フックの法則と呼ばれる次の関係式を満たします。

(2.9.1)

ばね弾性力 f[N] が、ニュートンの運動方程式から、シミュレーションのアルゴリズムを導出できます。ばね弾性力 f[N] を導出するために、ばねの変位 ΔL[m] を得る必要があります。関係性をわかりやすくするために、パラメータの関係を模式的に図示します。

原点からボールまでの距離 |r_n| は、三平方の定理から、

(2.9.2)

のように得られます。これにより、ばねの変位 ΔL[m] を導出します。

(2.9.3)

ばねの変位 ΔL[m] が導出できたので、これを式(2.9.1)に代入することで、ばね弾性力 f[N] を求めることができます。しかしながら、ニュートンの運動方程式に当てはめるためには、ばね弾性力の x 成分 f_x と y 成分 f_y を得る必要があります。各成分を導出するために必要な情報は、ばねの変位の方向と x 軸方向とのなす角を θ[rad] です。cosθとsinθは、ボールの座標 r_n = (x_n, y_n) とを用いて次のように表すことができます。

(2.9.4)

式(2.9.4)を用いることで、ばね弾性力の各成分 f=(f_x, f_y) を導出することができます。

(2.9.5)

式(2.9.5)にばね弾性力 f[N]、ばねの変位 ΔL[m]、cosθ、sinθを代入します。

(2.9.6)

上式は、ボールの位置 r_n = (x_n, y_n) が得られれば、ばね弾性力の各成分 f=(f_x, f_y) が決まることを表しています。上式は、任意の時刻 t[s] の位置 r(t) =(x(t), y(t)) でも成り立ちます。

ばね弾性力がある場合の運動方程式

ばね弾性力以外にボールに力が働かないとすると、ボールに作用するすべての力 F[N] は、ばね弾性力 f_x[N] と f_y[N]のみとなります。 x,y,z 成分それぞれに作用する力は、

(2.9.7)

となります。式(10-6)を【５日目】重力加速度、重力、ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式

(2.9.8)

に代入することで、空気抵抗がある場合のボールの運動方程式が得られます。

(2.9.9)

ばね弾性力を考慮すると、x 軸方向のボールの加速度 a_x[m/s^2]は、質量 m[kg]に反比例することがわかります。つまり上式は、「ばね弾性力による加速度は重いほど小さく、軽いほど大きくなる」ことを意味しています。これは、直感的に成り立っていることがわかります。

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

式(2.9.9)として得られたニュートンの運動方程式を【13日目】ばね弾性力がある場合の運動方程式と同様に、コンピュータでシミュレーションするためのアルゴリズム導出します。式(2.9.9)を差分で表すと、

(2.9.10)

となります。上式は、t = t_n[s] のときの加速度 a_n[m/s^2] は、そのときの速度 v_n[m/s]で得られることを表しています。得られた加速度と等加速度直線運動のアルゴリズムを用いることで、速度 v[m/s] と位置 x[m]とを決定することができます。

(2.9.11)

(2.9.12)

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-8-2】ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション

2010-08-29T15:16:56Z

前節ばね弾性力による運動の運動方程式とアルゴリズムでは、ばね弾性力がある場合の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。 t=t_n[s]のときの加速度 a_n[m/s^2]は、

(2.8.1)

と、そのときの位置 x_n[m/s]によって決まる値となります。この加速度 a[m/s^2]から速度 v[m/s]、位置 x[m]を順番に計算することで、ばね弾性力のある場合のシミュレーションを行うことができます。前回のアルゴリズムが x軸方向の変位のみを仮定しているため、今回は初期条件として、初期位置（x_0, 0, 0）, 初速度(0, 0, 0) と指定します。

今回は、上図のようにばねを縮めるように初期のボールを配置します。すると、ばね弾性力でボールは箱とは反対側に押し出されます。ある程度の伸びると今度は逆に、ばねが縮もうとして箱側に引っ張られます。そして、また最初の位置に戻ってきます。その結果として、行ったり来たりの運動を繰り返すのです。この運動のことは、単振動運動と呼ばれ、物理学では非常に重要な運動のひとつとなります。

ばね弾性力による運動のための計算アルゴリズム

動かない箱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

動かない箱の一辺の長さ box_L 、位置を (box_x, box_y, box_z) で指定します。箱の位置は、箱の中心の座標なので、床にめり込まないように box_z = box_L/2.0 とします。次にばねについてですが、ばねの自然長を L 、ばね定数を k とします。

k = 10.0;     //ばね定数
L = 30.0;     //ばねの自然長 
box_L = 10.0; //箱の一辺の長さ
box_x = -20.0;
box_y = 0.0;
box_z = box_L/2.0;  //箱が床にめり込まないように

ball_r = 4.0;//ボールの半径

// 位置・速度・加速度の初期値 
x = 0.0;
y = 0.0;
z = ball_r;
vx = 0.0;
vy = 0.0;
vz = 0.0;
ax = 0.0;
ay = 0.0;
az = 0.0;

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

//位置の計算
x  = x  + vx * dt;
y  = y  + vy * dt;
z  = z  + vz * dt;
//速度の計算
vx = vx + ax * dt;
vy = vy + ay * dt;
vz = vz + az * dt;
//加速度の計算
ax = - k * ((ball[i].x - box_x) - L);    //<-----ばね弾性力からの寄与
ay = 0.0;
az = 0.0;

このアルゴリズムでは誤差が大きく、時間と共に、単振動の振幅が大きくなってしまいます。アルゴリズムの改善は、次に行ないます。

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

つるつるの床に、動かない箱とばねで繋がったボールが置かれている状況のシミュレーションです。運動は、ばね弾性力のみによる単振動運動となります。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 変数の定義
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#define _BITMAP 0 //アニメーション作成用ビットマップの保存 0:しない　1:する
//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.01;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double k = 10.0;     //ばね定数
double L = 30.0;     //ばねの自然長 

//箱の場所
double box_L = 10.0; //箱の一辺の長さ
double box_x = -20.0;
double box_y = 0.0;
double box_z = box_L/2.0;  //箱が床にめり込まないように

// ボールの定義
double ball_r = 4.0;//ボールの半径
struct BALL {
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 1;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの位置「x,y,z」、速度「vx,vy,vz」、加速度「ax,ay,az」を
構造体「BALL」のメンバとします。「BALL」型の変数「ball1」を宣言と同時に初期値を設定しています。

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム
//--------------------------------------------------------
// 計算と物体の描画
//--------------------------------------------------------
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  //ofs1 << dt*tn << " " << ball1.x << " " << ball1.vx << " " << ball1.ax <

位置「ball1.x」「ball1.y」「ball1.z」

速度「ball1.vx」「ball1.vy」「ball1.vz」

加速度「ball1.ax」「ball1.ay」「ball1.az」

を逐次計算します。
先にも述べましたが、このアルゴリズムでは誤差が大きく、
時間と共に単振動の振幅が大きくなってしまいます。
アルゴリズムの改善は、次回行ないます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-8-1】ばね弾性力による運動の運動方程式とアルゴリズム

2010-08-29T15:09:39Z

ここまで、重力と空気抵抗力の２つの力[N]という物理量を定義し、そのシミュレーションを行ないました。そして、初期値（初期位置、初期速度など）を設定することで、様々な運動を行なうことを理解しました。本節では、ばね弾性力という力を定義します。ばね弾性力とは、その名のとおり、ばねを引いたときの元に戻ろうとする力（復元力）のことで、我々の日常生活でも非常におなじみの力です。

ボールと箱がばねでつながれていて、x軸方向にばねが伸び縮みする系を考えます。上図は、ばねが自然長で長さが L[m] で、ボールには何の力もかかっていない状態であるとします。この状態からボールを x軸方向に動かすと、ばねが自然長から変位します。変位したばねが戻ろうとして、変位と反対方向に力が発生します。これがばね弾性力と呼ばれる力です。

ばね弾性力は、ばねの変位 ΔL に対して比例の関係があります。。ばねの変位を ΔL[m] は、上図からわかるとおり、

(2.8.5)

となります。

ばね弾性力とばねの変位の関係

(2.8.1)

また、力の単位である[N]は、【５日目】重力加速度、重力、ニュートンの運動方程式で定義したとおり、

(2.8.2)

なので、比例定数の単位は[kg m/s^2]と決まります。ばね弾性力における比例定数は、ばね定数と呼ばれます。

物理量：ばね弾性力[N]とばね定数[kg/s^2]

(2.8.3)

ばね弾性力を f_x[N]、ばね定数を k[kg m/s^2]、ばねの変位を ΔL[m] と表すと、上記の関係は次の式で書くことができます。

(2.8.4)

この関係式はフックの法則として知られています

ばね弾性力がある場合の運動方程式

ばね弾性力以外にボールに力が働かないとすると、ボールに作用するすべての力 F[N] は、ばね弾性力 f_x[N] のみとなります。 x,y,z 成分それぞれに作用する力は、

(2.8.6)

となります。式(10-6)を【５日目】重力加速度、重力、ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式

(2.8.6)

に代入することで、ばね弾性力がある場合のボールの運動方程式が得られます。

(2.8.7)

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

式(2.8.7)として得られたニュートンの運動方程式を【６日目】重力による運動：自由落下と同様に、コンピュータでシミュレーションするためのアルゴリズム導出します。式(2.8.7)を差分で表すと、

(2.8.8)

(2.8.9)

(2.8.10)

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-7-1】重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション

2010-08-29T14:37:52Z

【２－６】重力＋空気抵抗力による運動：自由落下運動と同様に、【2-6-1】重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズムにて導出した重力と空気抵抗力がある場合の運動方程式と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムを用います。本節では、重力＋空気抵抗力がある場合の斜方投射運動のシミュレーションを行ないます。【２－５】重力による運動：斜方投射運動２と同様に初速度を三角関数を用いて斜めに打ち上げます。

重力＋空気抵抗力による運動のための計算アルゴリズム

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

//位置の計算
x  = x  + vx * dt; 
y  = y  + vy * dt; 
z  = z  + vz * dt; 
//速度の計算
vx = vx + ax * dt; 
vy = vy + ay * dt; 
vz = vz + az * dt; 
//加速度の計算
ax = -k/m * vx;    //<-----空気抵抗力からの寄与
ay = -k/m * vy;    //<-----空気抵抗力からの寄与
az = -g -k/m * vy; //<-----重力＋空気抵抗力からの寄与

【9.1日目】重力による運動：斜方投射運動２の場合と比較して、質量m[kg]と空気抵抗係数 k[kg/s]が加えられています。

重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション

質量を 0.1[kg]から 1.0[kg]まで変化させた１０個のボールを、初速度 70[m/s]、角度60°で打ち上げたシミュレーションを行ないます。軽いほど空気抵抗力の影響で、x軸方向の速度は 0[m/s]となることが確認できます。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

【11日目】重力＋空気抵抗力による運動：自由落下運動と同様に「【０日目】仮想物理実験室の構築（ver1.0）」をベースにプログラミングします。上記で解説した逐次計算を行うアルゴリズムをプログラミングします。

仮想物理実験室変数の定義

//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.03;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double g = 9.80665; //重力加速度 g
double k = 10.0;    //空気抵抗の比例定数
double degree;      //角度：度（°）
double radian;      //角度：ラジアン(rad)
double v0=70.0;     //初速度

// ボールの定義
struct BALL {
  double m;          //質量
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの位置「x,y,z」、速度「vx,vy,vz」、加速度「ax,ay,az」に加えて、
質量 m[kg]も構造体「BALL」のメンバとします。「BALL」型の変数「ball1」を宣言と同時に初期値を設定しています。

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム
//--------------------------------------------------------
// 計算と物体の描画
//--------------------------------------------------------
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  for(int i=0; i

位置「ball1.x」「ball1.y」「ball1.z」

速度「ball1.vx」「ball1.vy」「ball1.vz」

加速度「ball1.ax」「ball1.ay」「ball1.az」

を逐次計算します。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-6-2】重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション

2010-08-29T14:29:38Z

前節重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズムでは、重力と空気抵抗力がある場合の運動方程式の導出と、コンピュータでシミュレーションを行うためのアルゴリズムの導出を行ないました。 t=t_n[s]のときの加速度 a_n[m/s^2]は、

(2.6.1)

と、そのときの速度 v_n[m/s]によって決まる値となります。あとは、加速度 a[m/s^2]から速度 v[m/s]、位置 x[m]を順番に計算することで、重力＋空気抵抗力のある場合のシミュレーションを行うことができます。今回は、重力＋空気抵抗力における自由落下運動のシミュレーションを行います。位置、速度の初期値は【２－１】重力による運動：自由落下運動と同様、初期位置（x_0, y_0, z_0）, 初速度(v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}) を指定します。

重力＋空気抵抗力による運動のための計算アルゴリズム

位置・速度・加速度の初期値（自由落下）

g = 9.80665 //重力加速度
k = 10.0 //空気抵抗係数
m = 1.0  //ボールの質量
// 位置・速度・加速度の初期値 
x = 0.0;
y = 0.0;
z = 80.0;
vx = 0.0;
vy = 0.0;
vz = 0.0;
ax = 0.0;
ay = 0.0;
az = -g;

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

//位置の計算
x  = x  + vx * dt; 
y  = y  + vy * dt; 
z  = z  + vz * dt; 
//速度の計算
vx = vx + ax * dt; 
vy = vy + ay * dt; 
vz = vz + az * dt; 
//加速度の計算
ax = -k/m * vx;    //<-----空気抵抗力からの寄与
ay = -k/m * vy;    //<-----空気抵抗力からの寄与
az = -g -k/m * vy; //<-----重力＋空気抵抗力からの寄与

【６日目】重力による運動：自由落下の場合と比較して、質量m[kg]と空気抵抗係数 k[kg/s]が加えられています。

重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション

質量を 0.1[kg]から 1.0[kg]まで変化させた１０個のボールを、 z = 80[m]の位置からの自由落下運動させたときのシミュレーションを行ないます。軽いほど空気抵抗力の影響が大きく、結果として等速直線運動のように見えます。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

【６日目】重力による運動：自由落下と同様に「【０日目】仮想物理実験室の構築（ver1.0）」をベースにプログラミングします。上記で解説した逐次計算を行うアルゴリズムをプログラミングします。

仮想物理実験室変数の定義

//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.01;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double g = 9.80665; //重力加速度 g
double k  = 10.0;     //空気抵抗の比例定数

// ボールの定義
struct BALL {
  double m;          //質量
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの位置「x,y,z」、速度「vx,vy,vz」、加速度「ax,ay,az」に加えて、
質量 m[kg]も構造体「BALL」のメンバとします。「BALL」型の変数「ball1」を宣言と同時に初期値を設定しています。

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム
//--------------------------------------------------------
// 計算と物体の描画
//--------------------------------------------------------
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  //ofs1 << dt*tn << " " << ball1.x << " " << ball1.vx << " " << ball1.ax <

位置「ball1.x」「ball1.y」「ball1.z」

速度「ball1.vx」「ball1.vy」「ball1.vz」

加速度「ball1.ax」「ball1.ay」「ball1.az」

を逐次計算します。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-6-1】重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム

2010-08-29T13:54:27Z

【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式から、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出では、重力による運動のアルゴリズムを導出しました。

(2.6.1)

初速度の設定によって、様々な運動をすることをシミュレーションしました。簡単にまとめると以下のとおりです。

■初速度なし：自由落下運動
■初速度 v_{z0}：鉛直投射運動
■初速度 v_{x0}：水平投射運動
■初速度 v_{z0}と v_{x0}：斜方投射運動
■初速度 v_{0}と投射角度θ：斜方投射運動２

これまでの運動はすべて、物体に作用している力が重力のみの場合でした。しかしながら、日常の体験では、投げられたボールは空気抵抗によって飛距離が伸びないことを知っています。本節では、空気抵抗を加味した運動方程式を導出し、シミュレーションのためのアルゴリズムを構築します。

空気抵抗とは

本節では、無風の状態を考えます。無風の中でじっとしている場合、我々は重力を除いて他に力を受けていません。また、車から手を少し出した場合、手は車の進行方向とは逆に力を受けます。さらに車の速度が上がるほど、手が受ける力は大きくなります。運動しているボールの場合を考えた場合、、ボールにかかる空気抵抗力に次の関係があると仮定します。

(2.6.2)

上記の関係は空気抵抗力と速度とが比例関係にあることを表現しています。マイナスをつけたのは、ボールが感じる空気抵抗力が、進んでいる方向とは逆の方向にかかっていることを表すためです。「空気抵抗力」とは、ボールの形状や変形、回転、ボール周辺の空気の流れなどを全部加味した、非常に複雑な振る舞いによる力です。本節ではそのような複雑な議論には入らずに、ボールは速いほど空気抵抗力は大きくなるという日常の経験的な因果関係から、速度と空気抵抗力は比例関係であると「仮定」します。

また、力の単位である[N]は、【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で定義したとおり、

(2.6.3)

なので、比例定数の単位は[kg/s]と決まります。

物理量：空気抵抗力

(2.6.4)

この関係がx軸, y軸, z軸それぞれに対して成り立つとすると、空気抵抗力 f[N] は次のようになります。

(2.6.5)

重力＋空気抵抗力がある場合の運動方程式

ボールに作用する力 F[N] は、-z 軸方向の重力と速度に比例する空気抵抗力の合力となります。 x,y,z 成分それぞれに作用する力は、

(2.6.6)

となります。式(2.6.6)を【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式

(2.6.7)

に代入することで、空気抵抗がある場合のボールの運動方程式が得られます。

(2.6.8)

空気抵抗を考慮すると、これまでボールの運動に関与しなかった質量がでてきます。上式の x 成分を見ると、ボールの加速度 a_x[m/s^2]は、質量 m[kg]に反比例することがわかります。つまり上式は、「空気抵抗力による加速度は重いほど小さく、軽いほど大きくなる」ことを意味しています。これは、直感的に成り立っていることがわかります。

重力＋気抵抗力による運動のアルゴリズムの導出

式(2.6.8)として得られたニュートンの運動方程式を【２－１】重力による運動：自由落下運動と同様に、コンピュータでシミュレーションするためのアルゴリズム導出します。式(2.6.8)を差分で表すと、

(2.6.9)

(2.6.10)

(2.6.11)

初期位置（x_0, y_0, z_0）, 初速度(v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}) を指定することで、様々な運動のシミュレーションを行うことができます。次節は、重力＋空気抵抗力＋自由落下運動のシミュレーションを行います。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-5-2】重力による斜方投射運動２のシミュレーション

2010-08-29T13:36:35Z

【2-5-1】重力による斜方投射運動における初速度の分解にて導入した初期値を用いて、斜方投射運動のシミュレーションを行います。初速度 v_0[m/s]を固定したまま、投射角度θを変更します。 θ= 0°～ 90°まで、10°刻みで変えて投射するシミュレーションを行ないます。当然、角度によって v_{x0}と v_{z0}とが変わり運動の様子が変化しますが、それぞれ z軸方向の等加速度直線運動と、x軸方向の等速直線運動であることは変わりません。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

【９日目】重力による運動：斜方投射運動の初期値を変更することで、シミュレーションを行ないます。

仮想物理実験室変数の定義

//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;     //時刻
double dt= 0.03;    //時間刻み
int tn = 0;         //ステップ数
double g = 9.80665; //重力加速度 g
double degree;      //角度：度（°）
double radian;      //角度：ラジアン(rad)
double v0=40.0;     //初速度

// ボールの定義
struct BALL {
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールを１０個用意して、それぞれの投射角度を１０°ずつ変更します。

計算と物体の描画
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  for(int i=0; i

i 番目のボールの
位置「ball[i].x」「ball[i].y」「ball[i].z」

速度「ball[i].vx」「ball[i].vy」「ball[i].vz」

加速度「ball1.ax」「ball[i].ay」「ball[i].az」

を逐次計算します。水平方向には等速直線運動、鉛直方向（z軸方向）には、重力による等加速度直線運動を行ないます。初期値として、v_{z0}と v_{x0} を設定することでシミュレーションすることができます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-5-1】重力による斜方投射運動における初速度の分解

2010-08-29T13:35:54Z

【２－４】重力による運動：斜方投射運動では、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出で導出したニュートンの運動方程式を用いて、初期値として x 軸方向の初速度 v_{x0}と z 軸方向の初速度 v_{z0} 設定することで、斜方投射運動をシミュレーション行ないましました。前回と同じ斜方投射運動のシミュレーションですが、初期値の与え方を変えます。これまでのとおり、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出で導出したニュートンの運動方程式のアルゴリズムからスタートします。

(9.1-1)

斜方放射運動の初期値２

【２－４】重力による運動：斜方投射運動では、v_{z0}を一定として、v_{x0}の値を変化させ場合のシミュレーションを行ないました。v_{z0}と v_{x0}の組み合わせで、初速度 v_0 を計算することができました。

(9.1-2)

今度は逆に、初速度 v_0 と角度θで運動の初期条件を表現します。多分、多くの人はボールを斜方に投げるとき、z 軸方向の初速度○○、x 軸方向の初速度△△、といったことをイメージしながら投げるということをしていないので、今回の表現のほうが自然ではないでしょうか。

定義：三角比

x-y 平面に長さ１の円を配置し、x 軸方向から y軸方向へ、なす角度θで直線を描きます。円との交点から x軸と y軸に垂線を下ろします。そのときの原点0 と垂線と x 軸との交点までの長さを cosθ、原点と y 軸との交点までの長さを sinθ と表します。

cosθと sinθ は、θの値が変わると変化します。例えば、
θ=0° → cosθ = 1, sinθ = 0
θ=30°→ cosθ = √3/2 , sinθ = 1/2
θ=45°→ cosθ = 1/√2 , sinθ = 1/√2
θ=60°→ cosθ = 1/2 , sinθ = √3/2
θ=90°→ cosθ = 0 , sinθ = 1
などは、中学生で学習する直角三角形の線分の比と同じで、三平方の定理で計算することができます。そのほかのθの場合には暗算できませんが、コンピュータが計算してくれるので心配ありません。

日常生活において、角度の単位は円周を360等分した量で測る度数法（単位：度、記号：°）を用いることが多いです。しかしながら数式で角度を扱う場合、単位円の弧の長さで測る弧度法（単位：ラジアン、記号：rad）と呼ばれるものさしを使います。半径1 の円周の長さは、2π と小学生で学習します。例えば、
弧の長さが 2π → θ= 360°
弧の長さが π → θ= 180°
弧の長さが π/2 → θ= 90°
弧の長さが π/3 → θ= 60°
弧の長さが π/4 → θ= 45°
弧の長さが π/6 → θ= 30°
弧の長さが 0 → θ= 0°
と、弧の長さが決まれば、角度θが決まります。逆の言い方をすれば、弧の長さだけで角度を表すことができるので、わざわざ度数法の「°」という単位を使う必要がありません。弧度法では、角度を π[rad]のように指定します。もともと、πは直径と直径との比という神様が決めた量であるのに対して、円周を360等分する度数法、たぶん人間が勝手に（歴史的に）決めた量なので、弧度法のほうがより客観的であることが言えます。上図の場合、角度がθ[rad]であれば、太線で描いてある弧の長さはθ[m]となります。（同じθですが、単位が異なります。）

物理量：角度[rad]

(9.1-3)

コンピュータプログラミングの際も、この弧度法が利用されています。とはいえ、度数法もこれまで慣れしてきた分、直感的にイメージしやすいので、今後も利用します。

初速度の設定

以上の三角比を用いて、初速度の z 成分と x 成分とに速度の分解を行ないます。次の図は、x 軸方向から z 軸方向に角度θ の方向に初速度 v_0 の投射した場合です。

初速度 v_0[m/s]に、cos と sin を掛けたものが、z成分 x成分の初速度となります。この初速度を用いてシミュレーションを行ないます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-4-1】重力による水平投射運動のシミュレーション

2010-08-29T13:24:58Z

【２－３】重力による運動：水平投射運動では、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出で導出したニュートンの運動方程式を用いて、初期値として x 方向の初速度 v_{x0} 設定することで、水平投射運動をシミュレーション行ないましました。今回は、斜方投射運動と呼ばれる運動をシミュレーションします。

(2.4-1)

重力による運動は、上記のアルゴリズムと t=t_0[s]のときの状態、初期値を適切に設定することですべての運動を表現することができます。初期値として、v_{x0}を設定することで水平投射運動をシミュレーションしました。さらに異なった初期値に対する運動のシミュレーションを行ないます。

斜方放射運動

斜方放射運動とは、ボールを斜めに投射する運動をさします。斜めに投射することは、初期値として z軸方向（鉛直方向）の初速度 v_{z0}と、x軸方向（水平方向）の初速度 v_{x0}を設定することです。つまり、z軸方向の鉛直投射運動と x軸方向の水平投射運動を組み合わせた運動となります。

上記の図では、初速度として z軸方向には v_{z0}、x軸方向には v_{x0}を与えたときの様子を表しています。ボールは斜め上の方向への初速度となります。つまり、中学生で学習する三平方の定理を適用することで、初速度の大きさを計算することができます。

(9-2)

また、一般的に初速度をベクトルは

(9-3)

と表現でます。また、初速度の大きさはベクトルの大きさで表すことができます。

(9-4)

これも中学生で学習する３次元版の三平方の定理と同じで、３つの辺の長さが v_{x0} v_{y0} v_{z0} の直方体の対角線の長さとなります。「|～|」の記号は、中学生学習する絶対値と意味で、この場合、３次元ベクトルの大きさを表します。中学生では、実数の絶対値（例えば |-4.2|= 4.2 ）について学習しますが、これは単に「-（マイナス）」を消すという操作ではなく、実数も、実数軸方向の１次元のベクトルと考えることができるので、２乗してルートをとるという操作を行なった結果です。

位置・速度・加速度の初期値（斜方放射運動）

g = 9.80665 //重力加速度
// 位置・速度・加速度の初期値 
x = -50.0;
y =   0.0;
z = 0.0;
vx = 10.0; //<---------------x軸方向の初期速度を設定
vy = 0.0;
vz = 40.0; //<---------------z軸方向の初期速度を設定
ax = 0.0;
ay = 0.0;
az = -g;  //重力

斜方放射運動のシミュレーション

z軸方向の初速度 v_{z0}を 40[m/s]と固定したまま、 x軸方向の初速度 v_{x0}を 0～20[m/s]まで変化させてシミュレーションします。 v_{z0}は一定なので、すべてのボールは同じ高さまで上がり、重力によりすべてのボールは等加速度直線運動することが確認できます。また x軸方向には v_{x0} の大きさに応じて等速直線運動することもわかります。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

【２－３】重力による運動：水平投射運動の初期値を変更することで、斜方投射運動のシミュレーションを行ないます。

仮想物理実験室変数の定義

//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;  //時刻
double dt= 0.03; //時間刻み
int tn = 0;      //ステップ数
double g = 9.80665; //重力加速度 g

// ボールの定義
struct BALL {
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 11;//<--------------------- ボールの個数を設定
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

ボールの個数を簡単に変化させることとができるように、
ボールの個数を意味する変数 N としました。今回は N=11 としました。

計算と物体の描画
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  for(int i=0; i

i 番目のボールの
位置「ball[i].x」「ball[i].y」「ball[i].z」

速度「ball[i].vx」「ball[i].vy」「ball[i].vz」

加速度「ball1.ax」「ball[i].ay」「ball[i].az」

を逐次計算します。水平方向には等速直線運動、鉛直方向（z軸方向）には、重力による等加速度直線運動を行ないます。初期値として、v_{z0}と v_{x0} を設定することでシミュレーションすることができます。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-3-1】重力による水平投射運動のシミュレーション

2010-08-29T13:09:07Z

【２－３】重力による運動：鉛直投射運動では、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出で導出したニュートンの運動方程式を用いて、初期値として v_{z0} 設定することで、鉛直投射運動をシミュレーション行ないましました。今回は、水平投射運動と呼ばれる運動をシミュレーションします。

(2.3-1)

重力による運動は、上記のアルゴリズムと t=t_0[s]のときの状態、初期値を適切に設定することですべての運動を表現することができます。初期値として、v_{z0} を設定することで、鉛直投射運動をシミュレーションしました。異なった初期値に対する運動のシミュレーションを行ないます。

水平放射運動

水平放射運動とは、水平方向（x軸方向）に初速度 v_{x0}を与えたときの運動をさします。鉛直方向には、重力がかかっているので、加速度的に落下します。

位置・速度・加速度の初期値（水平投射運動）

g = 9.80665 //重力加速度
// 位置・速度・加速度の初期値 
x = -50.0;
y =   0.0;
z = 100.0;
vx = 5.0; //<---------------x軸方向の初期速度を設定
vy = 0.0;
vz = 0.0; 
ax = 0.0;
ay = 0.0;
az = -g;  //重力

水平投射運動のシミュレーション

x軸方向の初速度 v_{x0}を 0～40[m/s]まで変化させてシミュレーションしました。重力により、すべてのボールは同じ加速度で落下することが確認できます。

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

【７日目】重力による運動：鉛直投射運動の初期値を変更することで、水平投射運動のシミュレーションを行ないます。

仮想物理実験室変数の定義

//--------------------------------------------------------
// 仮想物理実験室変数の定義
//--------------------------------------------------------
double t = 0.0;  //時刻
double dt= 0.03; //時間刻み
int tn = 0;      //ステップ数
double g = 9.80665; //重力加速度 g

// ボールの定義
struct BALL {
  double x, y, z;
  double vx, vy, vz;
  double ax, ay, az;
};
const int N = 10;  //<--------------------- ボールの個数を設定
BALL ball[N];
void SetUp(void){
  for(int i=0; i

今後、ボールの個数を簡単に変化させることとができるように、
ボールの個数を意味する変数 N を用意します。今回は N=10 としました。

計算と物体の描画
void Calculate(){
  t = dt * double(tn);
  for(int i=1; i<=N; i++){
    //速度の算出
    ball[i].vx = ball[i].vx + ball[i].ax * dt;
    ball[i].vy = ball[i].vy + ball[i].ay * dt;
    ball[i].vz = ball[i].vz + ball[i].az * dt;
    //位置の算出
    ball[i].x = ball[i].x + ball[i].vx * dt;
    ball[i].y = ball[i].y + ball[i].vy * dt;
    ball[i].z = ball[i].z + ball[i].vz * dt;
  }
 tn++;
}
void DrawStructure(){
  for(int i=1; i<=N; i++){
    glPushMatrix();
      glMaterialfv(GL_FRONT, GL_AMBIENT, ms_ruby.ambient);
      glMaterialfv(GL_FRONT, GL_DIFFUSE, ms_ruby.diffuse);
      glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, ms_ruby.specular);
      glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, &ms_ruby.shininess);
      glTranslated(ball[i].x, ball[i].y, ball[i].z); //平行移動値の設定
      glutSolidSphere(4.0, 20, 20);            //引数：(半径, Z軸まわりの分割数, Z軸に沿った分割数)
    glPopMatrix();
  }
}


i 番目のボールの
位置「ball[i].x」「ball[i].y」「ball[i].z」

速度「ball[i].vx」「ball[i].vy」「ball[i].vz」

加速度「ball1.ax」「ball[i].ay」「ball[i].az」

を逐次計算します。水平方向には等速直線運動、鉛直方向（z軸方向）には、重力による等加速度直線運動を行ないます。初期値として、v_{x0} を設定することでシミュレーションすることができます。

NPO法人 natural science

【2010.09.01】複数のLED点灯回路を作ろう!!

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-10-2】ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション

ばね弾性力＋重力による運動のための計算アルゴリズム

支柱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

ばねの定義

仮想物理実験室変数の定義

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-10-1】ばね弾性力＋重力がある場合の運動方程式とアルゴリズム

ばね弾性力＋重力による運動の変数

コンピュータアルゴリズム導出までのステップ

ばね弾性力 f_k の導出

ばね弾性力の x,y,z 各成分（f_{kx},f_{ky},f_{kz}）の導出

z 成分（f_{kz}）と xy平面成分（f_{kxy}）への分割

x 成分（f_{kx}）と y 成分（f_{ky}）への分割

ばね弾性力＋重力がある場合の運動方程式

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

2010年8月29日付河北新報社朝刊にて、NPO法人 natural science 主催 『ものづくり講座』の記事を掲載いただきました。

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-9-2】ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション

ばね弾性力による運動のための計算アルゴリズム

支柱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-9-1】ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズム

パラメータ

ばね弾性力 f[N] の導出

ばね弾性力がある場合の運動方程式

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-8-2】ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション

ばね弾性力による運動のための計算アルゴリズム

動かない箱の位置とボールの位置・速度・加速度の初期値

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

ばね弾性力による単振動のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-8-1】ばね弾性力による運動の運動方程式とアルゴリズム

ばね弾性力とばねの変位の関係

物理量：ばね弾性力[N]とばね定数[kg/s^2]

ばね弾性力がある場合の運動方程式

ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-7-1】重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション

重力＋空気抵抗力による運動のための計算アルゴリズム

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-6-2】重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション

重力＋空気抵抗力による運動のための計算アルゴリズム

位置・速度・加速度の初期値（自由落下）

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

速度・位置を逐次計算するアルゴリズム

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-6-1】重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム

空気抵抗とは

物理量：空気抵抗力

重力＋空気抵抗力がある場合の運動方程式

重力＋気抵抗力による運動のアルゴリズムの導出

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-5-2】重力による斜方投射運動２のシミュレーション

VisualC++ ＋ OpenGL プログラミング

仮想物理実験室変数の定義

計算と物体の描画

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-5-1】重力による斜方投射運動における初速度の分解

斜方放射運動の初期値２

定義：三角比

物理量：角度[rad]

初速度の設定

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室【2-4-1】重力による水平投射運動のシミュレーション

斜方放射運動

位置・速度・加速度の初期値（斜方放射運動）

斜方放射運動のシミュレーション

2010年8月29日付河北新報社朝刊にて、NPO法人 natural science 主催『ものづくり講座』の記事を掲載いただきました。