量子力学入門
電子パルスのダイナミクス

本稿の目的

電子パルスのダイナミクスをシミュレーションする

量子力学の一般的な入門書では...

• 単一エネルギー平面波に対する「静的特性」は必ず書かれているが、パルス伝搬などの「動的特性」についてほとんど触れられることは少ない

（例）ポテンシャル障壁に対する「入射波」「反射波」「透過波」の関係（上図(a)）は触れられているが、パルスの透過時間などの動的特性は非常に少ない

ダイナミクスの数値計算は難しい？

一般的なダイナミクスの計算手法：「基礎方程式の差分化」

基礎方程式の差分化解法の問題点

• 時間発展とともに計算誤差がたまる
• 場合によっては計算結果の収束が非常に遅い
• ポテンシャルが急激に変化する領域があると発散する

数値計算特有の知識が必要で
初学者には敷居が高い！！

特に３番目は致命的で、系の特徴に合わせて安定化する必要がある

本稿におけるダイナミクスの計算方法

平面波の重ね合わせ

たったこれだけで、ステップ関数型ポテンシャルや井戸型ポテンシャルなどの様々な量子系に対する電子パルスのダイナミクスを計算することができる！

(※)上記の系を差分化型の数値計算は、境界面の取り扱いが非常に難しく、普通にやったら発散する

「平面波の重ね合わせ」で計算できる理由

• ポテンシャルが時間依存なし、かつ空間的に一定値である場合、「平面波」はシュレディンガー方程式の「厳密解」
• 「厳密解」の重ね合わせも、元のシュレディンガー方程式を満たす
• さらに、「平面波」は「正規直交完全系」を満たすため、どのような形状のパルスも表現することができる

数値計算の例：電子パルスのポテンシャル障壁への衝突

※物理シミュレーションビューアの「スタート」ボタンをクリックしてください。

本稿の特徴

特別な予備知識無しに、シュレディンガー方程式の最も基礎的な解である「平面波解」の導出からはじめ、 ステップ関数型ポテンシャルや井戸型ポテンシャルなどの様々な量子系に対する 「初期条件」「境界条件」の適切な与え方、さらにはダイナミクスの計算と動的特性の導出までを行う。

本稿の主な学習内容

内容は量子力学だが、実質には波動方程式の一般論であるため、「平面波の性質」と「重ね合わせの原理」が理解できていれば、量子力学自体を知らなくても理解可能である。 「下記の内容に興味がある」方を本稿の読者と想定している。

• 波動方程式の一般的性質
• C++言語による数値計算
• OpenMP による並列化計算

本稿の付属

HTML文書

• 量子力学入門「電子パルスのダイナミクス」（本稿）
• 本書で利用してる「シミュレーションビューア（ HTML5 + Javascript）」の使い方

ソースプログラム（C++言語）

• 電子平面波のシミュレーション.cpp
• 電子パルスのシミュレーション.cpp
• 電子パルスのステップ関数型ポテンシャルによるシミュレーション.cpp
• 電子パルスのポテンシャル障壁によるシミュレーション.cpp

※その他本稿で取り扱った計算のすべてのC++言語プログラムソース

筆者紹介

遠藤理平（理学博士）

博士論文では、屈折率の異なる媒質が光の波長程度で並んでいる光学的構造体として知られているフォトニック結晶において、 光パルスの伝播に関する動的特性について研究。

最近は、物理シミュレーション結果の HTML5 による描画がテーマ。 HTML5 がもつ汎用性がプレゼンテーションソフトとしてデファクトスタンダードであるウィンドウズ社製のパワーポイントの牙城を崩す可能性を秘めていると考えている。

本コンテンツ販売について

※本コンテンツの詳細については、【量子力学入門】電子パルスのダイナミクスをご覧ください。

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• 本コンテンツ並びにプログラムソースの著作権は著者が保有しております。転載などの際には必ず著者の許可が必要となります。
• 購入後の返品は、本コンテンツの性質上受けかねますことをご了承ください。
• 個人利用のための改変などはご自由に行うことができますので、様々な系にてシミュレーションを行なってみてください。 興味深いシミュレーション結果が得られた際には是非ご連絡ください。ウェブサイト上で紹介させて頂きます。