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VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展2:無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展

文責:遠藤 理平 (2010年9月22日) カテゴリ:仮想物理実験室(268)

前回の自由粒子の時間発展に引き続き、量子力学の教科書でもおなじみの井戸型ポテンシャルの時間発展を取り上げます。 シュレディンガー方程式に従う粒子が空間的にある領域に閉じ込められている場合を考えます。 下図のような、幅 L=10[nm] の井戸型ポテンシャルを想定します。

境界条件を考慮した結果の波動関数は次のようになります。

井戸型ポテンシャルの固有関数

但し、k_{xn},k_{yn},k_{zn}は整数の組み (n_x, n_y, n_z) を用いて、

となります。波数kは飛び飛びの値を取ることになります。 固有関数が求まったので、時間発展を計算することができます。

ガウスパルスの時間発展

井戸型ポテンシャルの中に、電子がガウスパルス型分布をして閉じ込められている場合を考えます。 固有関数に時間依存部分を加え、ガウス分布型の重み付けをして、波数を足し合わせることで、ガウスパルスの時間発展を計算をすることができます。

r_0 は実空間におけるガウスパルスの中心座標となります。

k_0=0 の場合

縦軸:波動関数の振幅
横軸: 実空間(x座標)0と10[nm]がポテンシャル障壁
パルスの中心座標:r_0 = L/2
時間間隔: 10^{-15}[s]

シミュレーションの結果、複雑な動きをしていたあと、約136[fs]の周期があることが分かります。

k_0=Δk*0.05 の場合

縦軸:波動関数の振幅
横軸: 実空間(x座標)0と10[nm]がポテンシャル障壁
パルスの中心座標:r_0 = L/2
時間間隔: 10^{-15}[s] Δk = PI/L

シミュレーションの結果、複雑な動きをしていたあと、約1100[fs]の周期があることが分かります。

考察

考察については、また後日あらためて行ないます。

VisualC++ + gnuplotによるアニメーション

後日あらためて公開します。



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