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【物理シミュレーションに挑戦!】量子力学
量子力学のための波動論1:平面波の時間発展

文責:遠藤 理平 (2016年10月31日) カテゴリ:仮想物理実験室(273)計算物理学(127)

本シリーズは量子力学を理解するために必要な波動論を復習することを目的とします。
量子力学のための波動論1:平面波の時間発展
量子力学のための波動論2:平面波の重ね合わせによる波束の生成
量子力学のための波動論3:ガウシアンパルスの時間発展
量子力学のための波動論4:ガウシアンパルスの時間発展の解析解

波動方程式やシュレディンガー方程式など、最も基本的な解である「平面波解」は、位置x、時刻tの波動関数(波動の変位)を\psi(x,t) として次のように表現されます。

\psi(x,t)=e^{ ikx - i\omega t }

kは波の伝搬方向と単位距離あたりの波の数を表す「波数」と呼ばれる量で、大きくなるほど波の間隔(波長)が狭くなり、また、符号が波の伝搬方向を表します。 \omegaは単位時間あたりの振動数を表す「角振動数」と呼ばれる量です。 それぞれ、波の波長\lambdaと周期T

k = 2\pi / \lambda, \omega = 2\pi / T

という関係があります。波数と角振動数はともに指数関数の肩、あるいは三角関数の引数で登場するため、両者とも2\piの因子が現れます。 この波数と角振動数は概念的には互いに独立ですが、物理現象で登場する場合には独立ではありません(対応する方程式から関係式が得られます)。 次のグラフは、指定した波数と角振動数に対応する平面波です(周期的境界条件:L=10)。時刻を進めることで波の伝搬も確認することができます。 なお本項では、概念を理解することを目的とするので、波数と角振動数は独立として扱っています。

メモ

上記の式はオイラーの公式を用いると

 \psi(x,t)= \cos( kx - \omega t) + i\sin( kx - \omega t)

となります。グラフでは実部と虚部を分けてプロットしています。また、絶対値は位置や時間に依らず「1」となります。 波数が正値の場合は右に、負値の場合は左に伝搬します。


参考図書

3次元グラフィックス関連

three.jsによるHTML5グラフィックス上 【改定版】
three.jsによるHTML5グラフィックス上 【改定版】
three.jsによるHTML5 3Dグラフィックス 【新機能と応用】

物理シミュレーション関連

HTML5による物理シミュレーション
HTML5による物理シミュレーション【拡散・波動編】
HTML5による物理シミュレーション 【剛体編】
HTML5による物理シミュレーション 【剛体編2】



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