一様媒質中における一般解と具体例
１軸ガウシアンによる電子パルスの拡散
文責：遠藤 理平 （2011年10月 7日）
カテゴリ：計算物理学(165)
【1-3】１軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの「電子パルスの波数空間の幅と実空間の幅の関係」では、実空間における幅が一定のまま伝搬する光パルスに対して、 電子パルスの実空間における幅は時間と共に拡散することを示しました。 その拡散の様子を見てみます。 前節で定義した１軸パルスの表式は
(1)
で与えられます。 中心波数 k_0 = 0 とすることで、パルスの中心は z=0 で留まるため、拡散の様子に着目することができます。 波数空間と実空間における半値全幅も前節で計算したとおり、
(1)
となります。下の図は t = 0 における波数空間と実空間における分布です。
また、波動関数ψの時間発展を計算した結果が次のとおりです。
電子パルスの拡散の様子
波動関数ψの時間発展を計算した結果が次のとおりです。
青：波動関数の絶対値
赤：波動関数の実部
緑：波動関数の虚部
図のx軸のスケールは ×10^{-11}[m] で、時間間隔は10^{-14}[s] とで計算しています。 時間と共にパルスが広がっている様子がわかります。
C++プログラムソース
/*
シュレディンガー方程式の１軸パルス
(公開：2011/10/07)
*/
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <stdio.h>
#include <complex>
#if defined(_OPENMP)
#include <omp.h>
#endif
#if defined(_MSC_VER)
#include <direct.h> // Windowsフォルダ作成用
#elif defined(__GNUC__)
#include <sys/stat.h> // UNIX系ディレクトリ作成用
#endif
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);
const double e = 2.7182818284590452354;
const complex<double> I = complex<double>(0.0,1.0);
const double c = 2.99792458E+8;
const double lambda0 = 500.0E-9;
const double mu0 = 4.0*PI*1.0E-7;
const double epsilon0 = 1.0/(4.0*PI*c*c)*1.0E+7;
const double h = 6.6260896 * 1.0E-34;
double hbar = h/(2.0*PI);
const double me = 9.10938215 * 1.0E-31;
const double eV = 1.60217733 * 1.0E-19;
const int N = 10000;//200 //波数の数
const int Lx=0, Lz=5000, Ld=10;
double dz = 1.0E-11; //XY平面を描画する際には dz = 1.0E-10
double delta_z = 1.0E-8;
double sigma = 2.0*sqrt(2.0*log(2.0))/(delta_z);
double dk = 30.0/(delta_z*double(N+1));
const int iz0 = Lz/2 , ix0 = Lx/2;
double E = 0;//1.0*eV;
double k0 = sqrt(2.0*me*E/pow(hbar,2));
double omega0 = hbar/(2.0*me) * pow(k0,2);
const int ts = 0, te = 200; //<------------ステップ数を指定
//double dt= 2.0*PI/omega0/double(te-ts+1); //<------------時間間隔を指定
double dt = 1.0 * 1.0E-14; //<------------時間間隔を指定
const double theta_s = 0.0, theta_e = 0.0; //<------------角度を指定
const double theta_k =20.0;
const double V0 = 0.0;
string folder = "Schrodinger_pulse1_2";//作成するフォルダ名
char str[200];
int main(){
#if defined(_MSC_VER)
_mkdir(folder.c_str()); // Windowsフォルダ作成
#elif defined(__GNUC__)
mkdir(folder.c_str(), S_IRWXU | S_IRWXG | S_IRWXO); // UNIX系のディレクトリ作成
#endif
#if defined(_OPENMP)
omp_set_num_threads(8);
cout << "OpenMPを利用します（最大スレッド数："<< omp_get_max_threads() << "）" << endl;
#endif
//ガウス分布の確認
ofstream ofs( "Gaussian.data" );
for(int jz= 0; jz<=N ; jz++){
double k = (k0 + dk * double(jz-N/2));
double Gaussian = exp( - 1.0/2.0 * pow((k-k0)/sigma,2));
ofs << k/sigma << " " << Gaussian << endl;
}
////////////////////
//角度ごとに計算
////////////////////
for(double th=theta_s; th <=theta_e; th+=theta_k ){
double Theta= PI/180.0 * th; //弧度法へ変換
char str[200];
sprintf(str, "/%d", int(th));
string folder_n = folder + str;
#if defined(_MSC_VER)
_mkdir(folder_n.c_str()); // Windowsフォルダ作成
#elif defined(__GNUC__)
mkdir(folder_n.c_str(), S_IRWXU | S_IRWXG | S_IRWXO); // UNIX系のディレクトリ作成
#endif
#pragma omp parallel
{
#pragma omp for //schedule(dynamic, 100)
for(int tn=ts; tn<=te; tn++){
double t_real = dt * double(tn);
cout << th << " " << tn << endl;
char str[200];
string str1;
ofstream fout_s;
sprintf(str, "/%d/s%d.data", int(th), tn); str1 = folder + str;
fout_s.open(str1.c_str());
for(int iz=0; iz<=Lz ;iz=iz+Ld){
for(int ix=0 ; ix<=Lx ;ix=ix+Ld){
double z = dz * double(iz-iz0);
double x = dz * double(ix-ix0);
complex<double> Psi = complex<double>(0.0,0.0);
complex<double> kz = k0 * cos(Theta);
complex<double> kx = k0 * sin(Theta);
for(int jz= 0; jz<=N ; jz++)
{
double k = (k0 + dk * double(jz-N/2));
complex<double> kz = k * cos(Theta);
complex<double> kx = k * sin(Theta);
double omega = hbar/(2.0*me) * pow(k,2);
Psi += exp( I*((kz)*(z) + (kx)*(x) -omega * t_real )) * exp( - 1.0/2.0 * pow((k-k0)/sigma,2));
}
fout_s << z/dz << " " ;
if(Lx!=0) fout_s << x/dz << " ";
fout_s << Psi.real()/sqrt(double(N)) << " " << Psi.imag()/sqrt(double(N)) << " " << abs(Psi)/sqrt(double(N)) << endl;
}
if(Lx!=0) fout_s<<""<< endl;
}
fout_s.close();
}
}
}
}
gnuplot テンプレート
【目次】シュレディンガー方程式とマクスウェル方程式
- ０．導入
【0-1】はじめに
【0-2】本稿で取り扱う基礎方程式 -
１．一様媒質中における一般解と具体例
【1-1】一般解の表式
【1-2】平面波の時間発展
【1-3】１軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス （１軸ガウシアンによる電子パルスの拡散）
【1-4】２軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス （２軸ガウシアンによる電子パルスの拡散, ２軸ガウシアンによる光パルスの拡散）
【1-5】３軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス
【1-6】垂直１軸ガウシアンによる光ビームと電子ビーム
【1-7】垂直２軸ガウシアンによる光ビームと電子ビーム
【1-8】直線偏光と円偏光
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２．異なる媒質の境界における電磁波と電子波
【2-1】異なる媒質の境界における波動の一般論
【2-2】電磁波に対する透過係数と反射係数の導出
【2-3】電子波に対する透過係数と反射係数の導出
【2-4】境界面において任意の形状の波に対して時間発展を与える一般表式
【2-5】境界面における平面波電磁波の時間発展
【2-6】境界面における平面波電子波の時間発展
【2-7】境界面における１軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
【2-8】境界面における２軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
【2-9】境界面における３軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
【2-10】境界面における垂直１軸ガウシアンによる光ビームと電子ビームの時間発展
【2-11】境界面における垂直２軸ガウシアンによる光ビームと電子ビームの時間発展
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３．転送行列法
・電子のトンネル確率
・光のトンネル効果
- ４．１層バリアにおける光パルスと電子パルスのシミュレーション
- ５・ポテンシャル障壁による量子粒子のトンネル時間
- ６・フォトニックバンドギャップによる光パルスのトンネル時間
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７．無限周期構造中の分散関係，群速度，位相速度
・転送行列とブロッホの定理
・ブロッホ波数と透過係数の関係
・分散関係
・透過係数と群速度の関係
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８．有限サイズの結晶における光パルスと電子パルスの横断時間
・光パルスと電子パルスの横断時間の導出
・パルス伝搬速度と群速度の関係
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９．フォトニックバンド端における光パルスの遅延
・１次元フォトニック結晶における透過係数と横断時間の数値計算
・横断時間の解析解
-
１０．バンド端における電子パルスの遅延
・１次元クローニッヒ・ペニーモデルにおける透過係数と横断時間の数値計算
・横断時間の解析解
- １１．非周期構造における光パルスと電子パルスと伝搬
