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異なる媒質の境界における電磁波と電子波
【2-1】異なる媒質の境界における波動の一般論

文責:遠藤 理平 (2011年12月 1日) カテゴリ:仮想物理実験室(277)計算物理学(132)

第1章では均一媒質中の波の伝搬についての定式化を行い、媒質中の電磁波と電子波の性質は、光(電磁波)に対しては誘電率psilonと透磁率\mu、電子波に対してはポテンシャルVという物質定数で与えられることを示しました。さらに、異なる波数ベクトルをもつ波を重ね合わせることによって様々な形状の波を作ることができることを示し、時間発展を計算しました。 次に本章では、下図のような異なる2種類の媒質が接している場合を考えます。

第1章と同様、はじめ平面波について定式化を行い、その後、平面波の重ね合わせで表現できる様々な形状の波の境界面での振る舞いについて考えます。電磁波と電子波による平面波はマクスウェル方程式とシュレディンガー方程式からそれぞれ

(2-1-1)

で与えられ、\omegaは波数と角振動数の関係である分散関係は

(2-1-2)

で与えられます。ただし、屈折率nnquiv\sqrt{\mupsilon}で定義されます。 異なる媒質間の境界における振る舞いを調べるために、 上図ののように、\mathbf{k}_1,\ \mathbf{k}_1',\ \mathbf{k}_2,\ \mathbf{k}_2'z-x平面上において2種類の媒質中を右に進行する波と左に進行する波の波数ベクトルを定義します。 	heta_1,\ 	heta_1',\ 	heta_2,\ 	heta_2'は、z軸とのなす角を表しています。 波数ベクトルは	hetaを用いて、

(2-1-3)



と表すことができます。各パラメタ k_1,k_2,k_1',k_2' ,\ 	heta_1,	heta_1',	heta_2,	heta_2'の関係は、次節以降でマクスウェル方程式とシュレディンガー方程式からそれぞれ導出します。 本節では電磁波と電子波に関する共通部分の導出までの流れと結果だけを示します。

ポイント1:角振動数が不変

任意の時刻において境界面で連続となるためには、各媒質中での振動数が一致する必要があります。 つまり、

(2-1-4)

となります。もし式(4)が成り立たっていなければ、例えt=0で連続条件を満たしていいたとしても、角振動数が異なるため時間と共に接続面で振幅がずれてしまうことになります。 この条件は直感的には自明ですが、境界面での接続条件として非常に重要です。

ポイント2:媒質中の波数は、物質定数だけで決まる

式(4)で与えられた角振動数が不変という条件は、式(2)とあわせて波数ベクトルの大きさに対する条件

(2-1-5)

を導きます。波数ベクトルの大きさの関係は、電磁波に対しては物質定数の比で、電子波に対して物質定数の差だけで与えられます。 これは任意の媒質間で成り立つため、真空と媒質との境界面を考えた場合 真空中の波数をk_0として

(2-1-6)

を満たします。ただし、真空中の物質定数はn=1V=0です。 物質定数の比、あるいは差だけで媒質中の波数ベクトルの大きさが決まるという認識は重要で、 任意の媒質中の電磁波・電子波の波数ベクトルの大きさは、電磁波・電子波はこれまでにどのような媒質を伝搬してきたかに依存しないということを意味します。 つまり、任意の媒質中における波数は、真空中の波数ベクトルだけで表すことができるということです。

ポイント3:スネルの法則の本質は境界面上における波の連続性

ポイント1は、境界面における振幅の時間的連続性から導かれています。 同様に境界面における振幅の空間的連続性からも条件式を導くことができます。 それは、境界面における振幅の波数ベクトルの並行成分が一致するということです。 式で表すと

(2-1-7)

となります。この条件から同時に入射角と反射角の関係

(2-1-8)

も導かれます。式(7),(8)の関係式は電磁波でも電子波でも成り立ちます。 この式(8)に式(6)を代入すると、 異なる媒質の境界面における光の屈折現象に対する入射角と透過角との関係を表すスネルの法則

(2-1-9)

が導かれます。つまり、スネルの法則は境界面上における電磁波の空間的連続性から導かれた法則ということになります。 本稿では波動現象全般の一般的な性質である式(7)をスネルの法則と呼ぶことにします。

次節では境界面上における接続条件を導出し、反射率、透過率を定義します。


【目次】シュレディンガー方程式とマクスウェル方程式



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