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VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-2-6】差分と微分

【1-1-5】等差数列を用いた等速度直線運動の解析解の導出では、等速度直線運動解析解を等差数列の和を用いて計算しました。 等速度直線運動の場合、速度 v[m/s]が一定であるため、時間間隔 Δt の大きさによらず、 数値解解析解とに差はないことが確認できました。

一方、【1-2-4】階差数列を用いた等加速度直線運動の解析解の導出では、 時間間隔 Δt の大きさにより、数値解に差があることが確認できました。 また、Δt → 0 とする極限をとることで、解析解を求めることができました。 本節では、計算前にΔt → 0 の極限を扱うために、高等学校で学習する微分を導入します。

差分と微分

はじめに、1次元の場合を考えます。 時刻 t=t_n[s]の速度 v_n[m/s]は、時刻 t=t_n の位置 x_n と時刻 t=t_{n-1} の位置 x_{n-1}を用いて、

(1.2.6-1)

と定義することができます。この関係式は、速度は位置の変化分を時間の変化分で割ったもの、つまり、平均の速度を表しています。また、Δt は 0 ではない有限の値を想定しているので、式(1.2.6-1)は、差分の関係式です。

今後の展開のために、記号の意味を整理しておきます。

(1.2.6-2)

1.x_n は、時刻 t_n のときの位置を表し、関数 x(t_n)のようにもと書くことができます。
2.Δt は、t_n と t_{n-1} との時間間隔を表し、n によらず一定の値です。
3.t_0 = 0 と時間の基準とすると、t_n は Δt の n 倍 となり、それを改めて t と表記する。

等加速度直線運動をコンピュータでシミュレーションをするために、Δt を勝手な好きな値を決めて実行しました。 つまり、離散的(飛び飛び)な時間で計算していました。 しかしながら、我々の住むこの世界の時間は離散的ではなく、連続的です。つまり、Δt → 0 の世界です。式(1.2.6-1)で、Δt → 0 の極限にもっていくことで、我々の住む世界を記述することできる関係式を導出します。

微分の定義

(1.2.6-3)

lim_{Δt→0} の記号は、Δt → 0 の極限をとるという意味の数学の記号です。時間の変化分 Δt が小さくなればなるほど、位置の変化分 x(t) - x(t-Δt) も小さくなります。そして、Δt → 0 の極限をとったときの微小時間を dt 、位置の微小変化分を dx と表記します。つまり、dx(t)/dt は、v(t) は、時刻 t[s] のときの瞬間の速度という意味になります。 Δt → 0 の極限をとったものは、時刻 t[s] による微分と定義されます。

上図は例として、時刻 t[s]に対する位置 x[m]の関係を図示したものです。 Δt が有限の場合の平均の速度と(上図の青線と赤線)、Δt → 0 の極限の場合の瞬間の速度(上図の水色線)を傾きで表しています。傾きは、Δt が小さいほど、x(t) 曲線の接線の傾きに近づくことが理解できます。

べき関数の微分

べき関数とは、一次関数、二次関数のように○次関数の一般的な呼び名です。 具体的な例として次の関数の微分を、式(1.2.6-3)の定義式に則って計算します。

(1.2.6-4)
べき関数

微分を計算するためには、x(t-Δt)を計算する必要があります。式(1.2.6-4)で、t → t-Δt として代入します。

(1.2.6-5)

高校数学で学習する二項定理を適用し、 さらに、Δt の1次までを和の式から取り出しておきます。 それは微分を計算するときに、 x(t) - x(t-Δt) を計算し、Δt で割るためです。

式(1.2.6-4)と式(1.2.6-5)を式(1.2.6-3)に代入します。

(1.2.6-8)

上式は、任意の m で成り立ちます。 つまり、べき関数の場合、指数部分が係数部分へと降りてきて、次数が1つ減ることがわかりました。

様々なべき関数の微分の例

(1.2.6-9)

速度の微分

ここまでで、位置 x(t) の微分が速度 v(t) であることがわかりました。 この関係は、速度 v(t) と加速度 a(t) の関係でも成り立ちます。 時刻 t=t_n[s]の速度 a_n[m/s]は、時刻 t=t_n の位置 v_n と時刻 t=t_{n-1} の位置 v_{n-1}を用いて、

(1.2.6-10)

と定義できます。この関係式は、加速度は速度の変化分を時間の変化分で割ったもの、つまり、平均の加速度を表しています。また、Δt は 0 ではない有限の値を想定しているので、式(1.2.6-10)は、差分の関係式です。 位置と速度の関係と同様に、Δt → 0 の極限をとると、

(1.2.6-11)

となります。位置と速度の関係と同様にグラフで表す次のようになります。

上図は、時刻 t[s]に対する位置 v[m/s]の関係を図示したものです。 Δt が有限の場合の平均の加速度と(上図の青線と赤線)、Δt → 0 の極限の場合の瞬間の加速度(上図の水色線)を傾きで表しています。傾きは、Δt が小さいほど、x(t) 曲線の接線の傾きに近づくことが理解できます。

差分と微分の関係

ここまでの関係性を整理します。

位置 x[m] を 時刻 t[s]で微分すると、速度 v[m/s]となる

(1.2.6-12)

単位に着目すると、左辺が [m/s] 右辺は [m]/[s] となるため、両辺の単位は一致しています。

位置 v[m/s] を 時刻 t[s]で微分すると、速度 a[m/s^2]となる

(1.2.6-13)

同様に単位に着目すると、左辺が [m/s^2] 右辺は [m/s]/[s] となるため、両辺の単位は一致しています。

つまり、位置の時間変化 x(t) がわかっていれば、位置を微分することで速度がわかり、 さらに、速度を微分することで加速度がわかるという関係があります。

等加速度直線運動の速度と加速度

等加速度直線運動の位置 x(t) の解析解は、【3.2日目】等加速度直線運動の解析解1:階差数列にて、求めました。

(1.2.6-14)

両辺を 時刻 t[s] で微分します。

(1.2.6-15)

速度 v(t) を求めることができました。 速度 v(t) は、初速度 v_0 に、加速度 a と時間 t を掛けたものになります。 さらに、両辺を時刻 t[s] で微分します。

(1.2.6-16)

加速度 a(t) を求めることができました。 等加速度直線運動の場合、時刻 t によらず加速度 a は一定(定数)なります。

以上のように、位置 x(t) の解析解がわかっている場合、時刻 t[s] で微分することによって、 速度、さらには加速度を計算することができることがわかりました。 次節では、これまでとは逆に、加速度がわかっている場合に、位置を計算するための手法を解説します。

備考

二項定理

(1.2.6-17)

組み合わせの記号

(1.2.6-18)

高校数学で学習する組み合わせです。 式(1.2.6-7)は、m個からk個を選択するときの組み合わせの数を表しています。 上記の「!」は、階乗を表す数学記号です。

(1.2.6-19)

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室

第0章 仮想物理実験室の構築

第1章 様々な運動

第2章 ニュートンの運動方程式

第3章 剛体の運動(エネルギー保存則と運動量保存則)

付録

  • 【A-1】参考文献
    ・(A-1-1)OpenGL について
    ・(A-1-2)VisualC++ について
    ・(A-1-3)物理シミュレーション
    ・(A-1-4)数値計算

未分類

力学

量子力学

波動論



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