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VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-3-4】等加加速度直線運動の解析解の導出

【1-2-8】微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出では、微分・積分を利用して等加速度直線運動の解析解を導出しました。 本節では、【1-3】等加加速度直線運動でシミュレーションを行った 等加加速度直線運動の解析解を導出します。

加速度と加加速度との関係

加速度 a[m/s^2]と加加速度 j[m/s^3]の関係は、 時刻 t_n のときの加速度 a_n は、 時刻 t_{n-1} のときの加速度 a_{n-1}、加加速度 j_{n-1}をもちいて、次のように表されます。

(4.2-1)

【1-3】等加加速度直線運動は、その名の通り等加加速度なので、加加速度 j[m/s^3] は一定としてシミュレーションしていますが、一般的に加速度と加加速度の関係は、差分と微分で導出した加速度と速度の関係と同様で、加速度 a[m/s^2] の時間 t[s] による微分が加加速度 j[m/s^3]となります。 式(4.2-1)を変形します。

(4.2-2)

両辺を Δt→0 の極限をとることで、加速度の微分を定義します。

(4.2-3)

加速度と加加速度との関係

(4.2-4)

上式は、加速度 a[m/s^2] を微分すると加加速度 j[m/s^3]となることを表しています。

等加加速度直線運動の解析解の導出

【1-2-8】微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出にて、等加速度直線運動の解析解を導出したのと同様に、等加加速度直線運動の解析解を導出します。 等加加速度とは、加加速度 j[m/s^3] が時間に依らず一定なので、次のように書くことができます。

(4.2-5)

式(4.2-4)を時刻 t で積分することで、加速度を得ることができます。

(4.2-6)

最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの加速度 a(0) を a_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。

(4.2-7)

式(4.2-7)を式(4.2-6) に代入することで、等加加速度直線運動の加速度の解析解が得られます。

等加加速度直線運動の加速度の解析解

(4.2-8)

加速度の解析解 a(t) が導出できたので、【3.5日目】等加速度直線運動の解析解4:微分・積分を利用した解析解の導出と同様に、時刻 t での積分を繰り返すことで、速度 v(t)、位置 x(t) を導出します。

速度と加速度との関係

(4.2-9)

式(4.2-9)を時刻 t で積分することで、速度を得ることができます。

(4.2-10)

最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの速度 v(0) を v_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。

(4.2-11)

式(4.2-10)を式(4.2-11) に代入することで、等加加速度直線運動の速度の解析解が得られます。

等加加速度直線運動の速度の解析解

(4.2-12)

続けて、位置 x(t) を導出します。

位置と速度との関係

(4.2-13)

式(4.2-13)を時刻 t で積分することで、位置を得ることができます。

(4.2-14)

最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの位置 x(0) を x_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。

(4.2-15)

式(4.2-14)を式(4.2-15) に代入することで、等加加速度直線運動の速度の解析解が得られます。

等加加速度直線運動の位置の解析解

(4.2-16)

微分と積分の関係

ここまで、加加速度 j(t) が与えられた場合の、加速度 a(t) と、 速度 v(t) と 位置 x(t) の解析解を時刻 t で積分することで導出しました。 微分と積分の関係性をまとめます。

(4.2-17)

VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室

第0章 仮想物理実験室の構築

第1章 様々な運動

第2章 ニュートンの運動方程式

第3章 剛体の運動(エネルギー保存則と運動量保存則)

付録

  • 【A-1】参考文献
    ・(A-1-1)OpenGL について
    ・(A-1-2)VisualC++ について
    ・(A-1-3)物理シミュレーション
    ・(A-1-4)数値計算

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力学

量子力学

波動論



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